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course: 高考数学冲刺班
teacher: 张老师
date: 2026-04-10
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## 二次方程的解法技巧

二次方程 ax² + bx + c = 0 是高考数学中的高频考点。解法主要有三种：

### 因式分解法

当方程可以分解为两个一次因式的乘积时，直接因式分解是最快的方法。例如 x² - 5x + 6 = 0 可以分解为 (x-2)(x-3) = 0，所以 x=2 或 x=3。

**技巧提示**：先看常数项 c 的因数对，再验证是否满足 b。

### 配方法

配方法适用于任何二次方程，步骤如下：
1. 将方程化为 x² + px + q = 0 的形式
2. 移项：x² + px = -q
3. 两边加上 (p/2)²
4. 化为完全平方形式

### 公式法

万能公式 x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a 适用于所有情况。但要注意判别式 Δ = b²-4ac 的符号：
- Δ > 0：两个不相等的实数根
- Δ = 0：两个相等的实数根（重根）
- Δ < 0：无实数根

## 韦达定理的应用

韦达定理：若 x₁、x₂ 是方程 ax² + bx + c = 0 的两个根，则：
- x₁ + x₂ = -b/a
- x₁ · x₂ = c/a

这个定理在选择题和填空题中非常有用，可以快速求出两根之和与积，而不需要实际求解方程。

**常见考法**：已知一根求另一根、求参数范围、证明不等式等。

## 真题演练

2025年全国卷第12题：已知方程 x² - 3x + m = 0 的两个根都是正整数，求 m 的所有可能值。

解题思路：设两根为 x₁、x₂，由韦达定理 x₁+x₂=3，x₁·x₂=m。因为都是正整数，所以只能是 1 和 2，因此 m=2。