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course: 高考数学冲刺班
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teacher: 张老师
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date: 2026-04-10
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## 二次方程的解法技巧
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二次方程 ax² + bx + c = 0 是高考数学中的高频考点。解法主要有三种：
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### 因式分解法
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当方程可以分解为两个一次因式的乘积时，直接因式分解是最快的方法。例如 x² - 5x + 6 = 0 可以分解为 (x-2)(x-3) = 0，所以 x=2 或 x=3。
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**技巧提示**：先看常数项 c 的因数对，再验证是否满足 b。
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### 配方法
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配方法适用于任何二次方程，步骤如下：
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1. 将方程化为 x² + px + q = 0 的形式
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2. 移项：x² + px = -q
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3. 两边加上 (p/2)²
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4. 化为完全平方形式
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### 公式法
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万能公式 x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a 适用于所有情况。但要注意判别式 Δ = b²-4ac 的符号：
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- Δ > 0：两个不相等的实数根
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- Δ = 0：两个相等的实数根（重根）
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- Δ < 0：无实数根
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## 韦达定理的应用
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韦达定理：若 x₁、x₂ 是方程 ax² + bx + c = 0 的两个根，则：
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- x₁ + x₂ = -b/a
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- x₁ · x₂ = c/a
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这个定理在选择题和填空题中非常有用，可以快速求出两根之和与积，而不需要实际求解方程。
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**常见考法**：已知一根求另一根、求参数范围、证明不等式等。
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## 真题演练
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2025年全国卷第12题：已知方程 x² - 3x + m = 0 的两个根都是正整数，求 m 的所有可能值。
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解题思路：设两根为 x₁、x₂，由韦达定理 x₁+x₂=3，x₁·x₂=m。因为都是正整数，所以只能是 1 和 2，因此 m=2。
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